若函数f(x)=a^x-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值

a＞1时，a^x是增函数，f(x)也是增函数，所以由定义域是[0,2]得值域是[f(0),f(2)]，所以f(0)＝0，f(2)＝2，得a＝√3

0＜a＜1时，a^x是减函数，f(x)也是减函数，所以由定义域是[0,2]得值域是[f(2),f(0)]，所以f(2)＝0，f(0)＝2. f(0)＝2无解

所以，a＝√3

若 0<a<1
函数 f(x)=a^x-1 在[0,2]上单调递减
当 x=0时 函数有最大值 0
当 x=2时 函数有最小值 a^2-1
所以 a^2-1=2 a^2=3
与 0<a<1 相矛盾
若 a>1
函数 f(x)=a^x-1 在[0,2]上单调递增
当 x=0时 函数有最小值 0
当 x=2时 函数有最大值 a^2-1
所以 a^2-1=2 a^2=3
又因为 a>1
所以 a=√3

综上所述 a=√3 时 函数f(x)=a^x-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]

a＞1时，a^x是增函数，f(x)也是增函数，所以由定义域是[0,2]得值域是[f(0),f(2)]，所以f(0)＝0，f(2)＝2，得a＝√3

0＜a＜1时，a^x是减函数，f(x)也是减函数，所以由定义域是[0,2]得值域是[f(2),f(0)]，所以f(2)＝0，f(0)＝2. f(0)＝2无解

所以，a＝√3